最終更新：2025-12-28

注意: この記事はAIによって自動生成されたものです。正確な情報については、必ず引用元の原著論文をご確認ください。

はじめに：パラメータを使わない「革命児」#

2015年、John P. Perdewらによって発表された SCAN (Strongly Constrained and Appropriately Normed) 汎関数は、計算化学界に衝撃を与えました。

B3LYPやM06などの有名汎関数が、実験データに合わせるための「経験的パラメータ」を多数含んでいるのに対し、SCANは経験的パラメータを一切含んでいません（Non-empirical）。 それにもかかわらず、希ガス原子から半導体の格子定数、さらには水素結合やファンデルワールス力といった弱い相互作用に至るまで、驚異的な精度を示しました。

なぜそんなことが可能だったのか？ その秘密は、物理学的に正しい 「17個の厳密な拘束条件 (Exact Constraints)」 を全て満たすように数式が設計されている点にあります。

1. SCANの心臓部：等軌道指示子 $\alpha$#

SCAN（およびメタGGA）の最大の特徴は、電子密度 $n(\vec{r})$ と勾配 $\nabla n$ に加えて、運動エネルギー密度 $\tau$ を変数として使うことです。 SCANでは、この $\tau$ をそのまま使うのではなく、無次元化された 等軌道指示子 (Iso-orbital indicator) $\alpha$ という変数を定義して利用します。

ここで各項の意味は以下の通りです。

• $\tau$: 実際の系の運動エネルギー密度。
• $\tau^W = |\nabla n|^2 / 8n$: フォン・ヴァイツゼッカー運動エネルギー密度（単一軌道極限）。
• $\tau^{unif}$: 均一電子ガスの運動エネルギー密度。

$\alpha$ が見分ける「化学結合」の種類#

この $\alpha$ は、局所的な化学結合の性質を見分ける優れたセンサーとして機能します。

• $\alpha \approx 0$: 共有結合（単一軌道に近い状態）。
• $\alpha \approx 1$: 金属結合（均一電子ガスに近い状態）。
• $\alpha \gg 1$: 弱い相互作用（密度が低く、変化が緩やかな領域）。

SCANは、この $\alpha$ の値に応じて、交換・相関エネルギーの形式を内挿・外挿することで、あらゆる結合様式に対応しています。

2. 「Strongly Constrained」と「Appropriately Normed」#

汎関数の名前になっている2つのフレーズは、その設計思想を端的に表しています。

Strongly Constrained（強く拘束された）#

SCANは、既知のメタGGAが満たしうる 全17個の厳密な拘束条件 を満たすように作られています。これには以下が含まれます。

• 均一電子ガス極限 ($\alpha=1$): 正しい交換・相関エネルギーを返す。
• 勾配展開の第4次項 (GE4): 交換エネルギーにおいて、密度変化が緩やかな極限で正しい振る舞いをする。
• Lieb-Oxford バウンド: 交換・相関エネルギーが一定の制限値を超えないこと。

Appropriately Normed（適切に規範化された）#

「拘束条件」だけでは関数の形を一意に決めきれない部分について、SCANは「半局所近似が厳密解になりうる系」を基準（ノルム）として採用しました。

• 希ガス原子: 交換エネルギーの漸近挙動など。
• 非共有結合相互作用: 圧縮されたアルゴン二量体など。

これにより、パラメータフィッティングを行わずとも、有機分子や固体の物性を「物理法則の力」だけで高精度に予測できるようになったのです。

3. なぜr²SCANが必要だったのか？#

これほど完璧に見えるSCANですが、r2SCANの記事で解説した通り、実用上は 「数値積分グリッドに対する過敏さ」 という弱点がありました。 SCANの論文中でも、$\alpha=1$ 付近での関数接続に非常に複雑なスイッチング関数 $f(\alpha)$ を用いていることが記述されています。この関数が、数値計算においてはスパイクノイズの原因となり、後の r²SCAN の開発（正則化と復元）へと繋がっていくことになります。

まとめ#

• SCANは、経験的パラメータに頼らず、物理的な**拘束条件(Constraints)と適切な規範(Norms)**だけで構築された画期的な汎関数です。
• $\alpha$ (等軌道指示子) を用いて結合の性質（共有結合・金属・分散力）を自動的に判別します。
• その精度の高さは本物ですが、数値的な扱いづらさを克服するために、現在は改良版の r²SCAN が推奨される場面が増えています。

参考文献#

• J. Sun, A. Ruzsinszky, and J. P. Perdew, “Strongly Constrained and Appropriately Normed Semilocal Density Functional”, Phys. Rev. Lett. 115, 036402 (2015).