last_modified: 2026-01-21

1. 概要 (Overview)#

量子力学的な微視的スケールにおいて、SI単位系（kg, m, s, J）は数値の桁が極端に小さくなり（例：電子質量 $\approx 10^{-31}$ kg）、取り扱いに不便である。 また、数式中に物理定数（$\hbar, m_e, e, 4\pi\epsilon_0$）が頻出し、記述が煩雑となる。 これを解決するため、計算化学ではこれらの基本定数をすべて 「1」 と置く Hartree原子単位系 (a.u.) を採用する。これにより、方程式は無次元化され、数値計算上の誤差（アンダーフロー等）も抑制される。

2. 基本単位の定義 (Base Units)#

以下の4つの物理定数を、原子単位系における「1」と定義する。

この定義により、非相対論的シュレーディンガー方程式（水素原子）は以下のように極限まで単純化される。

3. 組立単位と換算係数 (Derived Units and Conversions)#

基本単位の組み合わせにより導出される、実用上重要な単位群である。 ※以下の換算値は2022年CODATA推奨値に基づく。

3.1 長さ (Length): Bohr#

• 単位名: Bohr (または $a_0$)
• 定義式: $a_0 = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}$
• 物理的意味: 水素原子の基底状態におけるボーア半径。
• 換算:
  • $1 \text{ Bohr} \approx \mathbf{0.529177} \text{ \AA}$
  • $1 \text{ Bohr} \approx 5.29177 \times 10^{-11} \text{ m}$

3.2 エネルギー (Energy): Hartree#

• 単位名: Hartree (または $E_h$, Ha)
• 定義式: $E_h = \frac{m_e e^4}{(4\pi\epsilon_0)^2 \hbar^2} = \frac{\hbar^2}{m_e a_0^2}$
• 物理的意味: 水素原子の基底状態のポテンシャルエネルギーの絶対値（結合エネルギーの2倍）。
• 換算 (重要):
  • $1 \text{ Hartree} \approx \mathbf{27.2114} \text{ eV}$
  • $1 \text{ Hartree} \approx \mathbf{627.509} \text{ kcal/mol}$
  • $1 \text{ Hartree} \approx 2625.50 \text{ kJ/mol}$
  • $1 \text{ Hartree} \approx 219474.6 \text{ cm}^{-1}$ (波数)

3.3 時間 (Time)#

• 単位名: atomic unit of time
• 定義式: $t_0 = \frac{\hbar}{E_h}$
• 物理的意味: 電子がボーア軌道を1ラジアン回転するのに要する時間。極めて短時間であり、アト秒 ($10^{-18}$ s) 領域のダイナミクスで重要となる。
• 換算:
  • $1 \text{ a.u.} \approx \mathbf{2.41888 \times 10^{-17}} \text{ s}$ ($\approx 24.19$ as)

3.4 速度 (Velocity)#

• 単位名: atomic unit of velocity
• 定義式: $v_0 = \frac{a_0}{t_0} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 \hbar}$
• 物理的意味: 水素原子の基底状態における古典的な電子速度。光速 $c$ との関係は微細構造定数 $\alpha \approx 1/137$ で表される（$v_0 = \alpha c$）。
• 換算:
  • $1 \text{ a.u.} \approx 2.18769 \times 10^6 \text{ m/s}$

3.5 双極子モーメント (Electric Dipole Moment)#

• 単位名: atomic unit of dipole moment
• 定義式: $ea_0$
• 物理的意味: 単位電荷 $+1$ と $-1$ が 1 Bohr 離れた時の双極子モーメント。
• 換算:
  • $1 \text{ a.u.} \approx \mathbf{2.54174} \text{ Debye (D)}$

4. 注意点 (Notes)#

1. Rydberg単位との混同: 分光学ではRydberg単位 ($1 \text{ Ry} = 1/2 \text{ Hartree} \approx 13.6 \text{ eV}$) が用いられることがあるが、量子化学プログラム（Gaussian, GAMESS等）の出力は原則として Hartree である。係数 $1/2$ の取り違えに注意すること。
2. 分子構造の出力: 座標データは入力がAngstromであっても、内部計算および出力ログ（アーカイブ）ではBohrに変換されている場合が多い。可視化ソフトなどで読み込む際に単位系の指定を誤ると、分子が約半分 ($0.529$倍) に潰れて表示される。

結論 (Conclusion)#

計算化学プログラムの出力ログを解析する際は、以下の換算係数を定数として実装することが推奨される。

• Length: Bohr * 0.529177 -> Angstrom
• Energy: Hartree * 627.509 -> kcal/mol (反応熱議論用)
• Energy: Hartree * 27.2114 -> eV (軌道エネルギー議論用)